Der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, auch bekannt als Fibonacci („figlio di Bonacci“, Sohn des Bonacci) benutzte diese Folge 1202 in seinem Buch Liber abbaci („Buch der Rechenkunst“) um die Entwicklung einer Kaninchenpopulation zu beschreiben. Jedoch hat Fibonacci, die nach ihm benannte Folge nicht selbst entdeckt. Die Reihe war schon in der indischen und westlichen Antike bekannt.
1. Definition
In der Mathematik ist eine Folge ganz allgemein definiert als:
Unter einer endlichen Folge versteht man eine Abbildung {1,2,...,n} → M und unter einer Folge
(an)nϵN allgemein eine Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen N in eine Menge M, also eine Abbildung der Form N → M . (explizite Bildungsgesetze)
Man kann Folgen aber auch rekursiv definieren Das heißt man gibt einen Startwert und eine Vorschrift, nach der das folgende Glied berechnet werden soll vor. Bei der Fibonacci-Folge handelt es sich um solch eine rekursiv definierte Folge.
Startwerte: F1 = 1 und F2 = 1
Vorschrift: Fn = Fn-1 + Fn-2 für n > 2
Folge der Fibonacci-Zahlen: (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,....)
Anmerkung: In moderner Schreibweise wird oft eine führende 0 eingefügt.
Der Fibonacci-Generator gibt die n-te Fibonacci-Zahl zurück. Wobei n im gelb hinterlegten Feld eingegeben werden muss. Da die Fibonacci-Zahlen schnell sehr groß werden, wird zusätzlich zur normalen Schreibweise die wissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenzen angegeben.
2. Binets/Moivres Formel
Die Glieder der Fibonacci-Folge können aber auch über ein explizites Bildungsgesetz bestimmt werden. Dieses Bildungsgesetz geht auf die Mathematiker Abraham de Moivre und Jacques Philippe Marie Binet zurück. Die Formel lautet:
Hier ist ϕ der Goldene Schnitt. Die Tatsache das man die Fibonacci-Zahlen aus dem Goldenen Schnitt berechnen kann führt zur Vermutung, dass beide miteinander verknüpft sind.
3. Goldener Schnitt
Als Goldener Schnitt (lateinisch: sectio aurea) wird das Teilverhältnis bezeichnet, bei dem das Verhältnis des Ganzen zum größeren Teil, gleich dem Verhältnis des größeren Teils zum kleineren Teil ist. Nennt man den größeren Teil a und den kleineren Teil b, so erhält man:
Der Goldene Schnitt ist also (1 + (5)0,5 )/2. Dieses Ergebnis erhält man schnell, wenn man b gleich 1 setzt und die resultierende quadratische Gleichung (a2 - a - 1 = 0) löst. Die negative Lösung kommt aus offensichtlichen Gründen nicht in Frage. Es lässt sich weiter zeigen das der Goldene Schnitt eine irrationale Zahl ist, das heißt sie kann nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden.
Den Goldenen Schnitt ϕ kann man jedoch auch über die Fibonacci-Zahlen berechnen. Hierzu bildet man die Brüche zweier aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen (
fn+1 / fn ). Der Grenzwert für n gegen unendlich ist der Goldene Schnitt.
Die Annäherung an den Grenzwert erfolgt alternierend, das heißt abwechseln von rechts und links.
4. Fibonacci-Verhältnisse
Mit dem Goldenen Schnitt ϕ hat man schon ein Verhältnis einer Fibonacci-Extension abgeleitet. Um weitere Extensionen zu erhalten, teilt man eine Fibonacci-Zahl durch ihren Vor-Vorgänger ( fn+2 / fn ) , oder ihren Vor-Vor-Vorgänger ( fn+3 / fn ).
Das heißt im Allgemeinen: ( fn + m / fn ) wobei m = 1,2,3,.... (mϵN)
Bildet man für die Verhältnisse wieder den Grenzwert mit n gegen unendlich, so erhält man folgende Fibonacci-Extensionen:
- 161,8% für m = 1
- 261,8% für m = 2
Will man nun die Fibonacci-Retracements ableiten, so bildet man einfach das reziproke der Fibonacci-Verhältnisse, d.h. den Kehrwert.
Im Allgemeinen: ( fn - m / fn ) wobei m = 1,2,3,.... (mϵN)
Bildet man auch hier den Grenzwert mit n gegen unendlich, so erhält man die Fibonacci-Retracements:
- 61,8% für m = 1
- 38,2% für m = 2
- 23,6% für m = 35. Andere Extensions/Retracements
Das 50%-Retracement und die 200% Extension basieren nicht auf Fibonacci-Zahlen. Sie stammen direkt von der Dow Theorie ab. In der Dow Theorie gibt es z.B. die Behauptung das im Mittel die Hälfte der vorangegangenen Bewegung zurückgeführt wird.
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